精细结构、磁矩
与电子自旋

1. 从轨道到磁矩

绕核运动的电子可以先被类比为一个微小载流线圈。若轨道半径为 $r$、速率为 $v$，则电流 $i=e\nu$，轨道面积为 $\pi r^2$。电子带负电，因此轨道磁矩方向与轨道角动量相反：

$$\boldsymbol\mu_l=-\frac{e}{2m_e}\mathbf L=-\gamma_l\mathbf L.$$

比例系数 $\gamma_l=e/(2m_e)$ 是轨道旋磁比。把它与 $L=\sqrt{l(l+1)}\hbar$ 联立，就得到

$$\mu_l=-\sqrt{l(l+1)}\,\mu_B,\qquad \mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}.$$

2. Larmor 进动

磁矩在匀强磁场中不会简单地被“吸向”磁场方向。磁场施加力矩：

$$\boldsymbol\tau=\boldsymbol\mu\times\mathbf B=\frac{d\mathbf L}{dt}.$$

代入 $\boldsymbol\mu=-\gamma_l\mathbf L$，与刚体进动关系 $d\mathbf L/dt=\boldsymbol\omega\times\mathbf L$ 对照，可得 Larmor 频率：

$$\boxed{\omega_L=\gamma_l B=\frac{eB}{2m_e}}.$$

这说明磁场主要持续改变角动量方向，而不是它的大小。经典的“锥面进动”虽然不等于完整量子图像，却为磁矩与角动量的关系提供了有用直觉。

3. Stern–Gerlach：把取向变成两束

均匀磁场只产生力矩；要把不同磁矩投影分开，需要沿 $z$ 方向有梯度的不均匀磁场：

$$F_z=-\frac{dU}{dz}=\mu_z\frac{\partial B_z}{\partial z},\qquad U=-\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B.$$

对基态银原子，轨道角动量不能解释两条分立束；实验迫使我们引入电子的内禀角动量。屏幕上不是一条连续带，而是两个离散峰，这是空间量子化最直观的证据之一。

4. 自旋不是小球自转

“spin”是历史类比，不应理解成电子真的绕自身轴旋转。它是电子天生携带的内禀角动量，自旋量子数固定为 $s=1/2$：

$$|\mathbf S|=\sqrt{s(s+1)}\hbar=\frac{\sqrt3}{2}\hbar,\qquad S_z=m_s\hbar,\quad m_s=\pm\frac12.$$

自旋磁矩还多出一个约为 2 的 $g$ 因子：

$$\boldsymbol\mu_s=-g_s\mu_B\frac{\mathbf S}{\hbar},\qquad g_s\approx2.$$

5. 角动量耦合

单电子原子里，轨道角动量与自旋角动量合成为总角动量：

$$\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S.$$

若两个角动量量子数为 $j_1,j_2$，合成后的 $j$ 不是任意值，而按整数步长取

$$\boxed{j=j_1+j_2,j_1+j_2-1,\ldots,|j_1-j_2|}.$$

所以对 $s=1/2$ 的电子，当 $l>0$ 时得到 $j=l\pm1/2$。自旋—轨道作用会让这两个 $j$ 对应不同能量，这就是精细结构分裂的核心标签。

6. 一页回顾