应用举例与算符

设现在有一个一维无限深的势阱：

$$V(x)=\begin{cases}0, & 0

泛定薛定谔方程：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)$$

在 $0

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi$$

也就是

$$\frac{d^2\psi}{dx^2}+k^2\psi=0, \qquad k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$$

通解是

$$\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx$$

边条件是这样的，在势阱外面，由于 $V(x)=\infty$，则 $\psi(x)=0$。又由于波函数连续，所以在 $\psi(0)$ 与 $\psi(L)$ 应该取 $0$，所以有：

$$kL=n\pi,\qquad n=1,2,3,\dots \quad \text{且} \quad B=0$$

$$k_n=\frac{n\pi}{L}$$

能量量子化

$$\boxed{E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}, \qquad n=1,2,3,\dots}$$

粒子的能量具有一系列的本征值，能级不连续，具有零点能 $E_1$。

归一化本征函数

再根据归一化条件 $\int_0^L |\psi_n(x)|^2dx=1$

代入有 $A^2\int_0^L \sin^2\frac{n\pi x}{L}\,dx=1$

根据 $\sin^2+\cos^2=1$，可以得到 $\int_0^L \sin^2\frac{n\pi x}{L}\,dx=\frac{L}{2}$

从而 $A^2\frac{L}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad A=\sqrt{\frac{2}{L}}$

$$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad 0

势阱外 $\psi_n(x)=0$

现在有这样一个势阱：

$$V(x)=\begin{cases}0, & |x|<\dfrac d2\\[6pt]V_d, & |x|\ge \dfrac d2\end{cases}$$

薛定谔方程：$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi=E\psi$

1. 势阱内部

仍然解为 $\psi(x)=A\cos kx+B\sin kx$，其中 $k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

2. 势阱外

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V_d\psi=E\psi$

也就是 $\frac{d^2\psi}{dx^2}-\kappa^2\psi=0, \qquad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_d-E)}}{\hbar}$

粒子要想在势阱内，必有 $0

于是该方程解为

$$\psi(x)=\begin{cases}F\,e^{\kappa x}, & x<-\dfrac d2\\[6pt]G\,e^{-\kappa x}, & x>\dfrac d2\end{cases}$$

$A,B,F,G$ 用归一化与连续条件求解。

一维有限深势阱的几个特点

考虑一维矩形势垒

$$V(x)=\begin{cases}V_0, & x\in (x_1,x_2)\\0, & \text{其他区域}\end{cases}$$

把空间分成三个区域：

• 区域 I：$x
• 区域 II：$x_1
• 区域 III：$x>x_2$

设粒子自左向右入射，且粒子能量满足 $E

这就是经典上"禁阻区"内的运动问题，对应量子力学中的隧道效应。

定态薛定谔方程可写为

$$\frac{d^2\varphi}{dx^2}=\frac{2m}{\hbar^2}[V(x)-E]\varphi$$

定义

$$k_1=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},\qquad k_2=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$$

则三段区域中的方程分别化为：

在势能有限跃变处，波函数及其一阶导数都连续，因此在 $x=x_1,x_2$ 处有连接条件。利用这些条件，可以联立求出各系数之间的关系，从而得到反射系数和透射系数。

几率流密度

量子力学里的几率流密度

$$\mathbf j = \frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^* \nabla \psi-\psi \nabla \psi^*\right)$$

一维情况下 $j(x,t)=\frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right)$

• $j$ 的方向表示：概率流动的方向。
• $j$ 的大小表示：单位时间内穿过单位面积的概率流量。
• 如果是一维的 $j(x,t)$，那它表示：单位时间穿过该点的概率净流量。

透射系数的定义是 $T=\frac{j_{\text{透}}}{j_{\text{入}}}$

一维谐振子势能

$$V(x)=\frac12 m\omega^2 x^2$$

于是定态薛定谔方程是

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac12 m\omega^2 x^2\psi=E\psi$$

引入无量纲变量

$$y=\alpha x,\qquad \alpha=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}},\qquad \lambda=\frac{2E}{\hbar\omega}$$

原方程化为非常漂亮的

$$\frac{d^2\psi}{dy^2}+(\lambda-y^2)\psi=0$$

其中 $E=\frac{\lambda}{2}\hbar \omega$

$y\to\pm\infty$ 时 $\lambda$ 相比 $y^2$ 可以忽略，所以方程近似成

$$\frac{d^2\psi}{dy^2}-y^2\psi=0, \quad \text{解为} \quad \psi(y)\sim e^{\pm y^2/2}$$

根据可归一化条件，必有 $\psi(y)\sim e^{-y^2/2}$

于是可以设解为 $\psi(y)=e^{-y^2/2}g$

回代有 $\frac{d^2 g}{dy^2}-2y\frac{dg}{dy}+(\lambda-1)=0$

根据可归一化条件

$$\lambda=2n+1,\qquad n=0,1,2,\cdots$$

能量本征值

$$E_n=\left(n+\frac12\right)\hbar\omega,\qquad n=0,1,2,\cdots$$

具有零点能，量子谐振子不可能像经典振子那样"静止在平衡位置且能量为零"。

$$\psi_n(y)=A_n e^{-y^2/2}H_n(y)$$

换回 $x$，有

$$\psi_n(x)=A_n e^{-\alpha^2x^2/2}H_n(\alpha x),\qquad \alpha=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$$

其中 $H_n(y)=(-1)^n e^{y^2}\frac{d^n}{dy^n}\left(e^{-y^2}\right)$ 是厄米多项式。

3.6.1 力学量的平均值

若某个量是位置的函数 $f(x)$，那么它的平均值就是

$$\overline{f(x)}=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\rho(x)\,dx$$

故求 $p$ 的平均值需要考虑对概率密度函数做变换代换

$$\phi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(x)\,e^{-ipx/\hbar}\,dx$$

$$\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(p)\,e^{ipx/\hbar}\,dp$$

$e^{ipx/\hbar}$ 是确定动量 $p$ 的平面波；而一般波函数 $\psi(x)$ 可以看成很多不同动量平面波的叠加；$\phi(p)$ 就是"动量为 $p$ 的那一部分成分有多强"。

平均动量为

$$\overline{p}=\int_{-\infty}^{+\infty} p\,|\phi(p)|^2\,dp$$

3.6.2 空间表象下力学量的算符

在空间表象里，$f(x)$ 对波函数的作用方式，就是直接乘上去：

$$\hat f(x)\psi(x)=f(x)\psi(x)$$

对确定动量 $p$ 的自由粒子，其德布罗意平面波写成

$$u_p(x)=A e^{ipx/\hbar}$$

3.6.3 算符与本征函数与本征值

位置算符与动量算符：

$$\hat x = x,\qquad \hat p_x = -i\hbar \frac{d}{dx}$$

可以证明对易关系：

$$[\hat x,\hat p_x]=\hat x\hat p_x-\hat p_x\hat x=i\hbar$$

$$[\hat x,\hat p_x]=[\hat y,\hat p_y]=[\hat z,\hat p_z]=i\hbar$$

$$[\hat x,\hat p_y]=[\hat y,\hat p_z]=[\hat z,\hat p_x]=0$$

角动量算符满足：

$$[\hat L_x,\hat L_y]=i\hbar \hat L_z,\qquad [\hat L_y,\hat L_z]=i\hbar \hat L_x,\qquad [\hat L_z,\hat L_x]=i\hbar \hat L_y$$

总角动量平方 $\hat L^2=\hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2$ 与各分量对易：

$$[\hat L^2,\hat L_x]=[\hat L^2,\hat L_y]=[\hat L^2,\hat L_z]=0$$

算符如果作用在 $f$ 上等于此函数作用在一个标量 $\lambda$ 上，则称此函数 $f$ 为算符 $A$ 的本征函数，$\lambda$ 为本征值，方程 $\hat A f= \lambda f$ 为本征方程。

不同本征函数的本征值构成一个本征值谱，若将 $n$ 个线性无关的本征函数对应同一个本征值，则称此本征函数是 $n$ 度简并的。

哈密顿算符：

$$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(r)$$

而薛定谔方程就是这样一个方程：

$$\hat H\psi = E\psi$$

这显然是一个本征方程。

不确定度定义

力学量 $\hat A$ 在态 $\psi$ 的不确定度定义为

$$(\Delta A)^2=\langle \hat A^2\rangle-\langle \hat A\rangle^2$$

则若 $\hat A\psi=a\psi$，那么 $\langle \hat A\rangle=a, \langle \hat A^2\rangle=a^2$

从而 $(\Delta A)^2=a^2-a^2=0$。

在量子世界里，我们能测量到的物理量（如位置、动量、能量等，称为"可观测量"）都是用厄米算符（在有限维空间中就是厄米矩阵）来表示的。所以本征值一定是实数。

如果态 $\psi$ 不是本征态，那么

$$\psi=\sum_n c_n \phi_n,\qquad \hat A\phi_n=a_n\phi_n$$

这时测量 $\hat A$ 时，不会只得到一个固定值，而是可能得到若干个本征值 $a_n$，概率是 $|c_n|^2$。因此这时通常 $\Delta A>0$

于是说这个力学量在该态中没有确定值，只有概率分布。

不确定关系的导出

如果两个算符不对易，$[\hat A,\hat B]\neq 0$，比如 $\hat x$、$\hat p$，二者就不能同时都有零不确定度，于是

$$\Delta A\,\Delta B \ge \frac12 \left| \langle [\hat A,\hat B]\rangle \right|$$

例如：$[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$，则

$$\Delta x\,\Delta p_x\ge \frac{\hbar}{2}$$