3.3 不确定关系

波不像经典小球那样能被压缩到一个几何点上，它总要在空间中占据一段范围。

不确定关系的表述：微观粒子具有波动性，不能同时具有完全确定的位置，动量等物理量。

定量表述

海森堡不确定关系（粗略表述）
$$\Delta x\,\Delta p_x \geqslant \hbar/2,\qquad \Delta t\,\Delta E \geqslant \hbar/2.$$
严格表述：$\Delta p\,\Delta q \geqslant \hbar$
能量时间不确定关系：$\Delta E\,\Delta t \geqslant 2\hbar$
这一条和位置—动量不完全同类。因为在通常非相对论量子力学中，时间不是算符，而是参数。所以它不像 $x$ 和 $p$ 那样来自一个简单的对易关系。

时间—能量关系的物理图像

时间—能量关系通常要按具体语境理解，例如：

  • 态寿命越短，能量展宽越大；
  • 短时间过程对应较宽的频谱。

在原子物理中，自发辐射谱线宽度就和这个有关。这与波尔模型不矛盾：波尔模型里的"定态"是理想定态，默认它可以一直存在下去。

也就是说，在那个模型中：状态寿命 $\Delta t \to \infty$，那么能量宽度 $\Delta E \to 0$。这正好和能量—时间不确定关系一致。

也就是：$\Delta t$ 很大 $\Rightarrow$ $\Delta E$ 很小。在原子物理里，最常见的是激发态。

激发态寿命与能级宽度

比如某个原子被激发到了较高能级 $E_2$，它不会永远待在那里，通常过一段时间就会跃迁到较低能级 $E_1$，同时发出光子。所以激发态往往有一个平均寿命 $\tau$。这时，就不能再把这个激发态看成"无限稳定、无限长寿命"的理想状态了。于是它对应的能量不再是无限精确的一点，而会有一个宽度：

$$\Delta E \sim \frac{\tau}{\hbar}$$

这就是原子光谱里常说的能级宽度。

和谱线联系起来最直观

设原子从高能级 $E_2$ 跃迁到低能级 $E_1$，按波尔理论，发射光的频率应该满足：

$$h\nu = E_2 - E_1$$

如果两个能级都无限精确，那么 $\nu$ 也应该是一个精确值，谱线应当无限细。但实验上，谱线并不是绝对无限细的，它总有一定宽度。一个重要原因就是：

  • 上能级寿命有限；
  • 所以上能级本身的能量就有一点宽度；
  • 因而能级差也有一点宽度；
  • 所以发出的光频率也有一点范围；
  • 最后表现为谱线展宽。

这叫自然线宽。

不确定关系的物理意义

  1. 粒子处于位置 $x$ 完全确定的状态时，其动量 $p$ 的数值是完全不确定的，反之，当粒子处于动量 $p$ 完全确定的状态时，粒子的位置是完全不确定的，粒子不能被束缚，具有非定域性。
  2. 粒子在客观上不能同时具有确定的坐标和动量。
  3. 我们无法用轨道的概念精确描述微观粒子的运动。
  4. 不确定关系给出了经典理论的适用范围。
个人理解：基态通常寿命很长，因而能级展宽近于零；激发态寿命有限，因此能量有一定宽度。类似，在原子中高能级电子的空间分布通常更大，$\Delta p$ 不定。

初步推导

初步形式：

$$\Delta x\,\Delta p_x \geqslant h,\qquad \Delta t\,\Delta E \geqslant h$$

严格形式：

$$\Delta x\,\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2},\qquad \Delta t\,\Delta E \geqslant \frac{\hbar}{2}$$

第一种推导：从经典波包出发

经典波动关系：

$$\Delta t\,\Delta \nu \geqslant 1,\qquad \Delta x\,\Delta \lambda \geqslant \lambda^2$$
  • 若 $\Delta \nu \to 0$，则 $\Delta t \to \infty$  👉 频率越确定，时间越不确定
  • 若 $\Delta x \downarrow \Rightarrow \Delta \lambda \uparrow$，$\Delta \lambda \to 0 \Rightarrow \Delta x \to \infty$

👉 位置越确定，波长越不确定

引入德布罗意关系 $\lambda = h/p$，微分得 $\Delta \lambda = \frac{h}{p_x^2}\Delta p_x$，代入 $\Delta x\,\Delta \lambda \geqslant \lambda^2$：

$$\Delta x\,\Delta p_x \geqslant h \quad \Longrightarrow \quad \Delta t\,\Delta E \geqslant h$$

第二种推导：单缝衍射

中心峰角度：$\sin\theta = \pm \frac{\lambda}{d}$

位置不确定度 $\Delta x \sim d$，动量不确定度 $\Delta p_x \geqslant p\sin\theta$

代入 $\sin\theta = \frac{\lambda}{d}$，得 $\Delta p_x \geqslant p\frac{\lambda}{d}$

代入德布罗意关系 $p = \frac{h}{\lambda}$，得

$$\Delta x\,\Delta p_x \geqslant h$$

严格结果：

$$\Delta x\,\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2},\qquad \Delta t\,\Delta E \geqslant \frac{\hbar}{2}$$

核心物理图像

图像关键结论
波包图像 窄波包 ⇒ 位置确定 ⇒ 波长分散 ⇒ 动量不确定
衍射图像 狭缝变窄 ⇒ $\Delta x$ 变小，衍射变强 ⇒ $\Delta p_x$ 变大
位置的局域化必然导致动量的弥散化，这源于微观粒子的波动性

物理假设的深层理解

① 如果你把粒子的位置测得"无限精确"，那你其实是在假设它是一个"无限小的点"。

② 如果你把一个波的频率或波长测得"无限精确"，那这个波必须在空间中"无限延展"。

先看最基础的波：一个"完美单一波长"的波：

$$\psi(x) = \sin(kx)$$

它的特点：

  • 波长完全确定（$\lambda$ 是固定的）
  • 频率完全确定
  • 动量完全确定（因为 $p = h/\lambda$）

但是：它在整个空间从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 都存在。

也就是说：它没有"在哪儿"这个概念，你无法说"粒子在某个位置"。

结论：波长越确定，位置越不确定（甚至完全不确定）

3.4 波函数及其统计解释

一、由经典波到物质波的类比

在经典电磁理论中：

  • 电磁场的能量密度正比于电场强度的平方，即 $u \propto |E|^2$
  • 光强与光子数密度成正比

因此很自然地联想到：对于物质波，粒子在空间中的分布也应当与波函数的模平方有关。

波函数的概率解释（Born 解释）

设粒子的波函数为 $\psi(\mathbf r, t)$。则在 $t$ 时刻，粒子出现在 $\mathbf r$ 附近体积元 $d\tau$ 内的概率为

$$dW(\mathbf r,t) = |\psi(\mathbf r,t)|^2\,d\tau$$

因此，概率密度为

$$w(\mathbf r,t) = |\psi(\mathbf r,t)|^2 \quad \text{（也常记作 } \rho(\mathbf r,t)\text{）}$$

归一化条件

因为粒子必定出现在全空间的某处，所以全空间概率之和必须等于 1：

$$\int |\psi(\mathbf r,t)|^2\,d\tau = 1$$

这称为波函数的归一化条件。它反映的是：

  • 概率守恒
  • 粒子在整个空间中被找到的总概率为 1

波函数的非唯一性

波函数 $\psi$ 与 $C\psi$ 描述同一物理状态，其中 $C$ 为任意非零复常数。

原因是：物理上真正有意义的是 $|\psi|^2$，若 $\psi \to C\psi$，则 $|\psi|^2 \to |C|^2|\psi|^2$，这个整体常数因子可以通过归一化吸收掉。

$$\psi(\mathbf r,t)\ \text{与}\ e^{i\alpha}\psi(\mathbf r,t)\ \text{对应同一物理状态}$$

概率振幅的理解

可以把波函数理解为一种"概率振幅"：

  • $\psi(\mathbf r,t)$ 本身一般不是直接可观测量
  • 真正可观测的是它的模平方 $|\psi(\mathbf r,t)|^2$
  • $|\psi(\mathbf r,t)|^2$ 给出粒子在空间中出现的概率分布

所以：波函数大，并不直接表示"粒子多"，而是表示该处出现粒子的概率更大。

波函数的数学条件

波函数必须单值、有限且连续，性质及其优良。

量子力学中，波函数 $\psi$ 不是直接可观测量；它的模平方 $|\psi|^2$ 才表示粒子在空间中的概率密度，而总概率必须满足归一化条件

$$\int |\psi|^2 d\tau = 1$$

物质波的理解

两种视角：

  1. 波是基本的，不同频率的波合成波包，对应粒子位置
  2. 粒子是基本的，波表示大量粒子的分布

自由粒子的波函数

如果粒子不受力，是自由粒子，那么最简单的波函数可写成

$$\psi(\mathbf r,t) = A\,e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r - \omega t)}$$

一维时写成

$$\psi(x,t) = A\,e^{i(kx - \omega t)}$$

结合德布罗意关系

$$p = \hbar k,\qquad E = \hbar\omega$$

所以这个式子的含义是：

  1. 先按"波"的形式写出；
  2. 再用 $p = \hbar k,\ E = \hbar\omega$ 把它解释为粒子的量子态。

电子双缝干涉实验

（此处补充电子双缝干涉实验的讨论。实验展示了微观粒子的波粒二象性：单个电子也能形成干涉条纹，说明每个电子都以概率波的形式同时通过两条缝，与自身发生干涉。）

小结：本章建立了量子力学的两条核心原理：① 不确定关系（$\Delta x\,\Delta p_x \geqslant \hbar/2$）限制了经典概念在微观尺度的适用性；② 波函数的 Born 统计解释（$|\psi|^2$ 为概率密度）给出了微观粒子行为的概率本质。两者共同构成了量子力学的物理图像基础。