一、核心概念

二端网络与等效

// 等效变换要点 等效只针对端口外部，对内部不等效。
等效条件：两网络端口电压 $U_1 = U_2$，电流 $I_1 = I_2$。
等效变换只适用于线性网络。

电阻串并联

串联（同一电流）：$R = R_1 + R_2 + \cdots$，分压公式：

$$U_1 = \frac{R_1}{R_1+R_2}U, \quad U_2 = \frac{R_2}{R_1+R_2}U$$

并联（两端电压相同）：$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \cdots$，分流公式：

$$I_1 = \frac{R_2}{R_1+R_2}I, \quad I_2 = \frac{R_1}{R_1+R_2}I$$

Y-△ 等效变换

△ → Y（三角变星）：

$$R_a = \frac{R_{ab}R_{ca}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}$$

Y → △（星变三角）：

$$R_{ab} = \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_c}$$
// 对称情况 $R_\triangle = 3R_Y$

电源的两种模型与等效变换

等效变换条件：$E = I_S R_0$（内阻不变，串联改并联）。

// 四条注意 1. 等效只对外电路；2. 方向一一对应（电流源从 $-$ 极流向 $+$ 极）；
3. 理想电压源与理想电流源之间无等效关系；
4. 理想电压源不能并联（除非电压相同），理想电流源不能串联（除非电流相同）。

受控电源

VCVS / VCCS / CCVS / CCCS：分析方法同独立电源，但不能单独作用（叠加时不能令受控源为零）；求等效内阻时含受控源须用外加电源法。

二、基本定理

叠加定理

线性电路中，任一支路的电流/电压等于各电源单独作用时的代数和。

// 关键限制 只适用于线性电路；功率不能叠加（$P \neq P' + P''$）；
不作用的电压源 → 短路；不作用的电流源 → 开路。

齐性定理：单电源线性电路中，响应与电源成正比，电源增大 $n$ 倍则响应增大 $n$ 倍。

戴维宁定理

任何线性有源二端网络等效为电压源串内阻：

$$E = U_{OC}, \quad R_0 = \text{除去全部独立电源后从 a、b 端看入的等效电阻}$$

诺顿定理

等效为电流源并内阻：$I_S = I_{SC}$，$R_0$ 同戴维宁。两定理关系：$E = I_S R_0$。

三、支路电流法

// 适用场景支路数较少的电路（通用基础方法）

方程数统计：支路数 $b$ 个未知量；$(n-1)$ 个独立 KCL 方程 + $b-(n-1)$ 个独立 KVL 方程 = $b$ 个方程。

// 含恒流源的处理 法一：选回路不包含恒流源支路，少列一个 KVL，用 KCL 补充。
法二：设恒流源两端电压为未知量 $U_X$，正常列所有方程。

四、回路电流法

// 适用场景支路数多、网孔数少的电路

KVL 方程规律：

$$\text{自电阻} \times I_{\text{本}} - \sum(\text{互电阻} \times I_{\text{邻}}) = \text{本回路电动势代数和}$$
// 含恒流源时设恒流源两端电压为未知量，补充约束 $I_{\text{回路差}} = I_S$。

五、结点电压法（弥尔曼定理）

// 适用场景结点数少（尤其双结点电路）、支路数多的电路

KCL 标准形式：自电导 × 本结点电压 $-$ 互电导 × 相邻结点电压 $=$ 流入该结点的电流源电流。

双结点弥尔曼定理：

$$U = \frac{\displaystyle\sum \frac{E_k}{R_k} + \sum I_{Sk}}{\displaystyle\sum \frac{1}{R_k}}$$
// 符号规则 分子中 $E_k$：若 $E$ 参考方向与 $U$ 参考方向相反取正，相同取负。
与恒流源串联的电阻不计入自电导；恒流源电流直接加入分子（注意方向）。

六、叠加定理 Pipeline

Step 1  将电路分解为各电源单独作用的子电路
        不作用的电压源 → 短路
        不作用的电流源 → 开路
         ↓
Step 2  对每个子电路用简单方法（串并联、分压分流）求各支路响应
         ↓
Step 3  代数叠加：与原参考方向相同取正，相反取负
         ↓
Step 4  功率需单独计算，不能叠加

七、戴维宁 / 诺顿定理 Pipeline

// 戴维宁
Step 1  断开待求支路，得有源二端网络
Step 2  求开路电压 Uoc = E（任意方法）
Step 3  求等效内阻 R₀
        · 独立电源全部除去（电压源短路，电流源开路）
        · 含受控源 → 外加电源法：R₀ = U/I
Step 4  接入待求支路：I = E / (R₀ + R_L)

// 诺顿
Step 1  将 a、b 端短路，求短路电流 Isc = Is
Step 2  求等效内阻 R₀（同戴维宁）
Step 3  Is 并联 R₀，接入待求支路

八、方法选择指南

只求某一支路？          → 戴维宁 / 诺顿定理（最高效）
结点数少（≤3）？        → 结点电压法（弥尔曼定理）
网孔数少？              → 回路电流法
支路数少？              → 支路电流法
电源数不多 + 线性？     → 叠加定理
含非线性元件？          → 图解法（戴维宁等效 + 负载线）

九、易错点

// 常见错误汇总
叠加定理计算功率 ❌ 功率不能叠加，须用 $P = I^2R$ 单独算
电源等效后求内部量 ❌ 等效只对外，需回原电路求内部量
弥尔曼定理中 $E$ 的符号 $E$ 与 $U$ 参考方向相反取正，相同取负
戴维宁含受控源求 $R_0$ 不能直接化简，必须用外加电源法
Y-△ 变换后求原电路量 只能求端口外的量，内部须还原