电工学 第3章 · 电路的暂态分析
// 储能元件 · 换路定则 · 三要素法 · RC/RL电路 · 微分积分电路
<nav class="toc">
<div class="toc-title">// 目录</div>
<ol>
<li><a href="#steady-trans">3.1 稳态与暂态</a></li>
<li><a href="#switching">3.2 换路定则与初始值</a></li>
<li><a href="#rc">3.3 RC 电路响应</a></li>
<li><a href="#three-elements">3.4 三要素法</a></li>
<li><a href="#rl">3.5 RL 电路响应</a></li>
<li><a href="#diff-int">3.6 微分电路与积分电路</a></li>
<li><a href="#compare">RC vs RL 对比总表</a></li>
</ol>
</nav>
<article class="article-body">
<h2 id="steady-trans">3.1 稳态与暂态</h2>
<div class="note-box">
<span class="note-label">// 概念区分</span>
<strong>稳态</strong>：各电压、电流已达到稳定值，不再变化。<br/>
<strong>暂态</strong>：从一种稳态变化到另一种稳态的<em>过渡过程</em>。
</div>
<p>产生暂态的条件（内因 + 外因缺一不可）：</p>
<ul>
<li><strong>内因</strong>：电路中含储能元件（$L$ 或 $C$）—— $W_L = \tfrac{1}{2}Li^2$，$W_C = \tfrac{1}{2}Cu^2$，能量不能跃变</li>
<li><strong>外因</strong>：发生<strong>换路</strong>（开关动作、电源变化、参数突变等）</li>
</ul>
<div class="tip-box">
<span class="tip-label">// 实际意义</span>
<strong>积极利用</strong>：产生锯齿波、三角波、尖脉冲等特定波形。<br/>
<strong>危害预防</strong>：换路瞬间可能出现过电压/过电流，需保护措施。
</div>
<hr/>
<h2 id="switching">3.2 换路定则与初始值</h2>
<div class="note-box">
<span class="note-label">// 换路定则（核心）</span>
$$u_C(0^-) = u_C(0^+) \quad \text{（电容电压不能突变）}$$
$$i_L(0^-) = i_L(0^+) \quad \text{（电感电流不能突变）}$$
<strong>仅用于确定 $u_C$ 和 $i_L$ 的初始值</strong>，其余量（$u_R$、$i_C$、$u_L$ 等）均可突变。
</div>
<h4>初始值求法 — 四步流程</h4>
<pre style="background:#111;border:1px solid #222;border-left:3px solid var(--green);padding:1rem;font-size:0.83rem;color:#d4d4d4">Step 1 由 t = 0⁻ 电路（换路前稳态） 电容 → 开路，电感 → 短路 求 u_C(0⁻) 和 i_L(0⁻) ↓ Step 2 用换路定则 u_C(0⁺) = u_C(0⁻) i_L(0⁺) = i_L(0⁻) ↓ Step 3 画 t = 0⁺ 等效电路 电容 → 恒压源 u_C(0⁺) 电感 → 恒流源 i_L(0⁺) ↓ Step 4 由 t = 0⁺ 电路，用直流电路方法求其余初始值
<div class="tip-box">
<span class="tip-label">// 稳态值（t → ∞）</span>
电容 → 开路（$i_C(\infty) = 0$）；电感 → 短路（$u_L(\infty) = 0$）。用纯电阻直流分析即可。
</div>
<hr/>
<h2 id="rc">3.3 RC 电路的响应</h2>
<h3>零输入响应（放电）</h3>
<p>无外部激励，电容初始电压 $U_0$，通过 $R$ 放电：</p>
$$\boxed{u_C(t) = U_0 e^{-t/\tau}} \quad (t \geqslant 0), \quad \tau = RC$$
$$i(t) = -\frac{U_0}{R}e^{-t/\tau}$$
<h3>零状态响应（充电）</h3>
<p>$u_C(0^+)=0$，接入直流 $U_S$：</p>
$$\boxed{u_C(t) = U_S\!\left(1 - e^{-t/\tau}\right)}, \quad i(t) = \frac{U_S}{R}e^{-t/\tau}$$
<h3>时间常数 $\tau = RC$</h3>
<p>$t = \tau$ 时电容电压衰减至 $36.8\%U_0$（或充电至 $63.2\%U_S$）。</p>
<div class="note-box">
<span class="note-label">// τ 的衰减对照</span>
<table style="width:100%;font-size:0.8rem;border-collapse:collapse">
<tr style="color:var(--text-dim)">
<th style="padding:0.3rem 0.5rem;border-bottom:1px solid #222;text-align:left">$t$</th>
<th style="padding:0.3rem 0.5rem;border-bottom:1px solid #222">$0$</th>
<th style="padding:0.3rem 0.5rem;border-bottom:1px solid #222">$\tau$</th>
<th style="padding:0.3rem 0.5rem;border-bottom:1px solid #222">$2\tau$</th>
<th style="padding:0.3rem 0.5rem;border-bottom:1px solid #222">$3\tau$</th>
<th style="padding:0.3rem 0.5rem;border-bottom:1px solid #222">$5\tau$</th>
</tr>
<tr style="color:var(--green)">
<td style="padding:0.3rem 0.5rem">$u_C/U_0$</td>
<td style="padding:0.3rem 0.5rem;text-align:center">100%</td>
<td style="padding:0.3rem 0.5rem;text-align:center">36.8%</td>
<td style="padding:0.3rem 0.5rem;text-align:center">13.5%</td>
<td style="padding:0.3rem 0.5rem;text-align:center">5.0%</td>
<td style="padding:0.3rem 0.5rem;text-align:center">0.7%</td>
</tr>
</table>
工程上通常取 $5\tau$ 认为暂态结束。
</div>
<hr/>
<h2 id="three-elements">3.4 三要素法（通用公式）</h2>
<div class="note-box">
<span class="note-label">// 三要素公式</span>
$$\boxed{f(t) = f(\infty) + \bigl[f(0^+) - f(\infty)\bigr]e^{-t/\tau}}$$
三要素：$f(0^+)$（初始值）、$f(\infty)$（稳态值）、$\tau$（时间常数）。
</div>
<h4>三要素法 Pipeline</h4>
<pre style="background:#111;border:1px solid #222;border-left:3px solid var(--yellow);padding:1rem;font-size:0.83rem;color:#d4d4d4">Step 1 求初始值 f(0⁺) · 换路前电路求 u_C(0⁻) 或 i_L(0⁻) · 换路定则得 u_C(0⁺) 或 i_L(0⁺) · t = 0⁺ 等效电路求其他初始值 ↓ Step 2 求稳态值 f(∞) · 换路后新稳态：C → 开路，L → 短路 ↓ Step 3 求时间常数 τ · RC 电路：τ = R_eq · C（R_eq 为 C 端口等效电阻） · RL 电路：τ = L / R_eq（R_eq 为 L 端口等效电阻） · 求 R_eq 时独立源除去（电压源短路，电流源开路） ↓ Step 4 代入三要素公式写出结果
<hr/>
<h2 id="rl">3.5 RL 电路的响应</h2>
<h3>零输入响应（储能释放）</h3>
$$\boxed{i_L(t) = I_0 e^{-t/\tau}}, \quad \tau = \frac{L}{R}$$
$$u_L(t) = -RI_0 e^{-t/\tau}$$
<div class="tip-box">
<span class="tip-label">// 注意</span>
切断含电感的电路时，$i_L$ 不能突变，但 $u_L$ 可以突变，可能产生远大于电源的<strong>过电压</strong>。
</div>
<h3>零状态响应（建立电流）</h3>
$$i_L(t) = \frac{U_S}{R}\!\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$
<hr/>
<h2 id="diff-int">3.6 微分电路与积分电路</h2>
<div class="note-box">
<span class="note-label">// 微分电路（输出 $u_R$，时间常数小）</span>
条件：$\tau \ll T_{\text{脉冲}}$，输出从电阻取。输出 $u_R \approx RC \cdot \dfrac{du_i}{dt}$（尖脉冲）。
</div>
<div class="note-box">
<span class="note-label">// 积分电路（输出 $u_C$，时间常数大）</span>
条件：$\tau \gg T_{\text{脉冲}}$，输出从电容取。输出 $u_C \approx \dfrac{1}{RC}\int u_i\,dt$（三角波/锯齿波）。
</div>
<hr/>
<h2 id="compare">RC vs RL 暂态对比</h2>
<div class="note-box">
<span class="note-label">// 对比总表</span>
<table style="width:100%;font-size:0.82rem;border-collapse:collapse">
<tr style="border-bottom:1px solid #333;color:var(--yellow)">
<td style="padding:0.4rem 0.6rem;width:30%"></td>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem;width:35%">RC 电路</td>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem;width:35%">RL 电路</td>
</tr>
<tr style="border-bottom:1px solid #222">
<td style="padding:0.4rem 0.6rem;color:var(--text-dim)">储能元件</td>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem">电容 $C$</td>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem">电感 $L$</td>
</tr>
<tr style="border-bottom:1px solid #222">
<td style="padding:0.4rem 0.6rem;color:var(--text-dim)">不突变量</td>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem">$u_C$</td>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem">$i_L$</td>
</tr>
<tr style="border-bottom:1px solid #222">
<td style="padding:0.4rem 0.6rem;color:var(--text-dim)">时间常数</td>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem">$\tau = RC$</td>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem">$\tau = L/R$</td>
</tr>
<tr style="border-bottom:1px solid #222">
<td style="padding:0.4rem 0.6rem;color:var(--text-dim)">稳态等效</td>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem">开路</td>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem">短路</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem;color:var(--text-dim)">零输入响应</td>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem">$u_C = U_0 e^{-t/\tau}$</td>
<td style="padding:0.4rem 0.6rem">$i_L = I_0 e^{-t/\tau}$</td>
</tr>
</table>
</div>
</article>
</div>