3.1 稳态与暂态

// 概念区分 稳态：各电压、电流已达到稳定值，不再变化。
暂态：从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。

产生暂态的条件（内因 + 外因缺一不可）：

  • 内因：电路中含储能元件（$L$ 或 $C$）—— $W_L = \tfrac{1}{2}Li^2$，$W_C = \tfrac{1}{2}Cu^2$，能量不能跃变
  • 外因：发生换路（开关动作、电源变化、参数突变等）
// 实际意义 积极利用：产生锯齿波、三角波、尖脉冲等特定波形。
危害预防：换路瞬间可能出现过电压/过电流，需保护措施。

3.2 换路定则与初始值

// 换路定则（核心） $$u_C(0^-) = u_C(0^+) \quad \text{（电容电压不能突变）}$$ $$i_L(0^-) = i_L(0^+) \quad \text{（电感电流不能突变）}$$ 仅用于确定 $u_C$ 和 $i_L$ 的初始值，其余量（$u_R$、$i_C$、$u_L$ 等）均可突变。

初始值求法 — 四步流程

Step 1  由 t = 0⁻ 电路（换路前稳态）
        电容 → 开路，电感 → 短路
        求 u_C(0⁻) 和 i_L(0⁻)
         ↓
Step 2  用换路定则
        u_C(0⁺) = u_C(0⁻)
        i_L(0⁺) = i_L(0⁻)
         ↓
Step 3  画 t = 0⁺ 等效电路
        电容 → 恒压源 u_C(0⁺)
        电感 → 恒流源 i_L(0⁺)
         ↓
Step 4  由 t = 0⁺ 电路，用直流电路方法求其余初始值
// 稳态值（t → ∞） 电容 → 开路（$i_C(\infty) = 0$）；电感 → 短路（$u_L(\infty) = 0$）。用纯电阻直流分析即可。

3.3 RC 电路的响应

零输入响应（放电）

无外部激励，电容初始电压 $U_0$，通过 $R$ 放电：

$$\boxed{u_C(t) = U_0 e^{-t/\tau}} \quad (t \geqslant 0), \quad \tau = RC$$ $$i(t) = -\frac{U_0}{R}e^{-t/\tau}$$

零状态响应（充电）

$u_C(0^+)=0$，接入直流 $U_S$：

$$\boxed{u_C(t) = U_S\!\left(1 - e^{-t/\tau}\right)}, \quad i(t) = \frac{U_S}{R}e^{-t/\tau}$$

时间常数 $\tau = RC$

$t = \tau$ 时电容电压衰减至 $36.8\%U_0$（或充电至 $63.2\%U_S$）。

// τ 的衰减对照
$t$ $0$ $\tau$ $2\tau$ $3\tau$ $5\tau$
$u_C/U_0$ 100% 36.8% 13.5% 5.0% 0.7%
工程上通常取 $5\tau$ 认为暂态结束。

3.4 三要素法（通用公式）

// 三要素公式 $$\boxed{f(t) = f(\infty) + \bigl[f(0^+) - f(\infty)\bigr]e^{-t/\tau}}$$ 三要素：$f(0^+)$（初始值）、$f(\infty)$（稳态值）、$\tau$（时间常数）。

三要素法 Pipeline

Step 1  求初始值 f(0⁺)
        · 换路前电路求 u_C(0⁻) 或 i_L(0⁻)
        · 换路定则得 u_C(0⁺) 或 i_L(0⁺)
        · t = 0⁺ 等效电路求其他初始值
         ↓
Step 2  求稳态值 f(∞)
        · 换路后新稳态：C → 开路，L → 短路
         ↓
Step 3  求时间常数 τ
        · RC 电路：τ = R_eq · C（R_eq 为 C 端口等效电阻）
        · RL 电路：τ = L / R_eq（R_eq 为 L 端口等效电阻）
        · 求 R_eq 时独立源除去（电压源短路，电流源开路）
         ↓
Step 4  代入三要素公式写出结果

3.5 RL 电路的响应

零输入响应（储能释放）

$$\boxed{i_L(t) = I_0 e^{-t/\tau}}, \quad \tau = \frac{L}{R}$$ $$u_L(t) = -RI_0 e^{-t/\tau}$$
// 注意 切断含电感的电路时，$i_L$ 不能突变，但 $u_L$ 可以突变，可能产生远大于电源的过电压。

零状态响应（建立电流）

$$i_L(t) = \frac{U_S}{R}\!\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

3.6 微分电路与积分电路

// 微分电路（输出 $u_R$，时间常数小） 条件：$\tau \ll T_{\text{脉冲}}$，输出从电阻取。输出 $u_R \approx RC \cdot \dfrac{du_i}{dt}$（尖脉冲）。
// 积分电路（输出 $u_C$，时间常数大） 条件：$\tau \gg T_{\text{脉冲}}$，输出从电容取。输出 $u_C \approx \dfrac{1}{RC}\int u_i\,dt$（三角波/锯齿波）。

RC vs RL 暂态对比

// 对比总表
RC 电路 RL 电路
储能元件 电容 $C$ 电感 $L$
不突变量 $u_C$ $i_L$
时间常数 $\tau = RC$ $\tau = L/R$
稳态等效 开路 短路
零输入响应 $u_C = U_0 e^{-t/\tau}$ $i_L = I_0 e^{-t/\tau}$