4.1 正弦量三要素与有效值
正弦量一般式：$i(t) = I_m\sin(\omega t + \psi_i)$
// 三要素
① 幅值 $I_m$：决定大小
② 角频率 $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$（rad/s）：决定变化快慢；工频 $f=50\text{Hz}$，$\omega = 314\ \text{rad/s}$
③ 初相角 $\psi$：决定起始位置
② 角频率 $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$（rad/s）：决定变化快慢；工频 $f=50\text{Hz}$，$\omega = 314\ \text{rad/s}$
③ 初相角 $\psi$：决定起始位置
有效值（RMS）：$I = I_m/\sqrt{2}$，$U = U_m/\sqrt{2}$。仪表测量值均为有效值（220 V 市电 $\Rightarrow U_m \approx 311\ \text{V}$）。
相位差：$\varphi = \psi_u - \psi_i$。只有同频率正弦量的相位差有意义（常数）。
// 超前/滞后
$\varphi > 0$：$u$ 超前 $i$；$\varphi < 0$：$u$ 滞后 $i$；$\varphi = 0$：同相；$\varphi = \pm\pi$：反相。
4.2 相量法与复数运算
正弦量 $\leftrightarrow$ 相量：$i(t) = I_m\sin(\omega t+\psi) \leftrightarrow \dot{I} = I\angle\psi$（模 = 有效值，辐角 = 初相角）。
// 相量运算规则
加减：用代数式 $A = a + jb$
乘除：用极坐标式 $A = r\angle\psi$
$j$ 的性质：乘 $j$ → 逆时针旋转 $90°$；$j^2 = -1$
微分关系：$\dfrac{di}{dt} \leftrightarrow j\omega\dot{I}$；积分关系：$\int i\,dt \leftrightarrow \dfrac{\dot{I}}{j\omega}$
乘除：用极坐标式 $A = r\angle\psi$
$j$ 的性质：乘 $j$ → 逆时针旋转 $90°$；$j^2 = -1$
微分关系：$\dfrac{di}{dt} \leftrightarrow j\omega\dot{I}$；积分关系：$\int i\,dt \leftrightarrow \dfrac{\dot{I}}{j\omega}$
4.3 单一参数元件（R、L、C）
// 三元件对比
感抗 $X_L = \omega L$（频率↑，$X_L$↑）；容抗 $X_C = 1/(\omega C)$（频率↑，$X_C$↓）。
| 元件 | 阻抗（VCR） | 相位关系 | 功率特征 |
| R | $\dot{U} = R\dot{I}$ | $u$、$i$ 同相 | $P = UI = I^2R$（纯耗能） |
| L | $\dot{U} = j\omega L\dot{I} = jX_L\dot{I}$ | $u$ 超前 $i$ 90° | $P=0$，$Q = UI$（储磁能） |
| C | $\dot{U} = \dfrac{1}{j\omega C}\dot{I} = -jX_C\dot{I}$ | $u$ 滞后 $i$ 90° | $P=0$，$Q = -UI$（储电能） |
4.4 RLC 串联电路
核心公式
$$Z = R + j(X_L - X_C) = |Z|\angle\varphi$$ $$|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}, \quad \varphi = \arctan\!\frac{X}{R}$$ $$\dot{U} = \dot{I}\cdot Z = \dot{U}_R + \dot{U}_L + \dot{U}_C$$
// 三种工作状态
$X_L > X_C$（$X > 0$）→ 感性（$u$ 超前 $i$）
$X_L < X_C$（$X < 0$）→ 容性（$u$ 滞后 $i$）
$X_L = X_C$（$X = 0$）→ 纯阻性（串联谐振）
$X_L < X_C$（$X < 0$）→ 容性（$u$ 滞后 $i$）
$X_L = X_C$（$X = 0$）→ 纯阻性（串联谐振）
功率三角形
$$P = UI\cos\varphi = I^2R \quad \text{（有功功率，W）}$$ $$Q = UI\sin\varphi = I^2X \quad \text{（无功功率，var）}$$ $$S = UI = I^2|Z| \quad \text{（视在功率，VA）}$$ $$\boxed{S^2 = P^2 + Q^2}, \quad \cos\varphi = \frac{P}{S} = \frac{R}{|Z|}$$RLC 串联 5 步 Pipeline
Step 1 X_L = ωL，X_C = 1/(ωC) Step 2 Z = R + j(X_L−X_C)；求 |Z| 和 φ = arctan(X/R) Step 3 I = U/|Z|；ψ_i = ψ_u − φ Step 4 U_R = IR，U_L = IX_L，U_C = IX_C；画相量图 Step 5 P = UIcosφ，Q = UIsinφ，S = UI；验证 S²=P²+Q²
4.5 阻抗的串联与并联
串联：$Z = Z_1 + Z_2 + \cdots$（复数代数和）
并联：$\dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_1} + \dfrac{1}{Z_2} + \cdots$（等效导纳 $Y = G + jB$）
// 复杂电路
原直流电路中的所有分析方法（KCL/KVL、支路电流法、结点法、叠加、戴维宁等）均可推广到交流电路，只需将实数电阻改为复数阻抗，将实数量改为相量。
4.6–4.8 功率与功率因数
提高功率因数的意义
在 $P$ 和 $U$ 不变的条件下，$\cos\varphi$ 越高则 $I = P/(U\cos\varphi)$ 越小，线路损耗越小，电源利用率越高。
补偿方法：并联电容
$$C = \frac{P(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)}{\omega U^2}$$
// 注意
并联电容后：$P$ 不变（$R$ 消耗），$I_L$ 不变，$I$ 减小，$\cos\varphi$ 提高。
过补偿（容性）：$Q_C > Q_L$，$\varphi < 0$，电流反而可能增大，一般补偿至 $\cos\varphi = 0.9$ 即可。
过补偿（容性）：$Q_C > Q_L$，$\varphi < 0$，电流反而可能增大，一般补偿至 $\cos\varphi = 0.9$ 即可。
谐振
串联谐振
条件：$X_L = X_C$，即 $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$，$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$。
// 串联谐振特征
$|Z| = R$（最小）→ $I$ 最大；$\dot{U}_L + \dot{U}_C = 0$，$U = U_R$；
品质因数 $Q_s = \omega_0 L/R = 1/(\omega_0 CR)$，谐振时 $U_L = U_C = Q_s U$（可远大于电源电压！）。
品质因数 $Q_s = \omega_0 L/R = 1/(\omega_0 CR)$，谐振时 $U_L = U_C = Q_s U$（可远大于电源电压！）。
并联谐振
条件：$B_L = B_C$，即 $\omega_0 \approx 1/\sqrt{LC}$。
// 并联谐振特征
导纳 $|Y|$ 最小 → 阻抗最大 → 谐振时总电流 $I$ 最小；
$I_L \approx I_C \approx Q_p I$（支路电流可远大于总电流）。
$I_L \approx I_C \approx Q_p I$（支路电流可远大于总电流）。
4.9 非正弦周期电流电路
非正弦周期量可展开为傅里叶级数：$f(t) = A_0 + \sum_{k=1}^{\infty}A_{km}\sin(k\omega t + \psi_k)$
// 有效值与功率计算
有效值：$I = \sqrt{I_0^2 + I_1^2 + I_2^2 + \cdots}$（各次谐波有效值的平方和开方）
平均功率：只有同次谐波之间才能产生平均功率，不同次谐波之间平均功率为零： $$P = U_0 I_0 + \sum_{k=1}^\infty U_k I_k \cos\varphi_k$$
平均功率：只有同次谐波之间才能产生平均功率，不同次谐波之间平均功率为零： $$P = U_0 I_0 + \sum_{k=1}^\infty U_k I_k \cos\varphi_k$$
// 叠加原理（频域）
对非正弦电源，将各次谐波分量分别单独作用于电路，求各自响应，最后叠加（时域叠加，不能用相量直接叠加，因各次谐波频率不同）。