冲量定理法（杜阿梅尔原理）

非齐次波动方程：

边界条件（两端固定）：

初始条件（非零）：

冲量定理法仍然不失一般性，考虑叠加原理，解的叠加分解为两个子问题之和：

这个非齐次项 $f(x,t)$ 的物理含义为 $F(x,t) = \rho\,f(x,t)$，代表的是一个力作用在位移 $x$ 上的情况。把这个力分解为一系列脉冲：

积分上下限 0 到 $t$，对应的总位移为所有瞬时力引起振动的叠加：

对每个脉冲 $u^{(\tau)}$ 满足：

边界条件：$u^{(\tau)}\mid_{x=0} = 0,\ u^{(\tau)}\mid_{x=l} = 0$

初始条件：$u^{(\tau)}\mid_{t=0} = 0,\ u^{(\tau)}_t\mid_{t=0} = 0$

$u^{(\tau)}$ 必含有因子 $d\tau$，若记 $u^{(\tau)}(x,t) = v(x,t;\tau)\,d\tau$，则 $v(x,t;\tau)$ 满足：

即转化为：

注意：初条件下标变了，做了时间原点的平移。初条件 $v_t\mid_{t=\tau} = f(x,\tau)$ 本式来源于冲量定理 $dv = f(x,t,\tau)\,d\tau$。

这里的"冲量定理法"，本质上就是杜阿梅尔原理在波动方程上的应用。

它的核心想法是：把右端的连续外力 $f(x,t)$ 看成在每一个时刻 $\tau$ 都给系统施加了一次"瞬时冲量"，先研究"在 $t=\tau$ 瞬间打一小下之后系统怎么演化"，然后把从 $\tau=0$ 到 $\tau=t$ 的所有冲量贡献累加起来。

我们考虑一类标准问题：$u_{tt} - a^2 u_{xx} = f(x,t)$，再配上边界条件和初始条件。

如果这是一个线性非齐次波动方程，并且边界条件是齐次的，那么杜阿梅尔原理通常很好用。

特别适合这种题：

• 右端 $f(x,t)$ 可以分离成空间因子和时间因子
• 边界条件是齐次的
• 初始条件是零，或者容易先化成零初值问题

设原方程是 $u_{tt} - a^2 u_{xx} = f(x,t)$。

把某一时刻 $\tau$ 的右端外力看成"只在那一瞬间作用一下"。那么这一瞬间给系统造成的影响，就会表现为：

• 位移在 $t=\tau+0$ 时仍然为零
• 但速度会突然获得一个"增量"

这就是为什么教材里先去解一个关于 $v(x,t;\tau)$ 的齐次问题：

但初始条件不是普通的，而是放在 $t=\tau+0$ 上：

你可以这么理解：在时刻 $\tau$，外力 $f(x,\tau)$ 没来得及立刻把位移改大，但会先把"速度"踢一下。之后系统从这一下被踢出来的初速度出发，按齐次波动方程自由振动。

然后把所有 $\tau$ 的贡献从 $0$ 积到 $t$，就得到总解。

先看题目是不是下面这个结构：

• 方程是线性的：$u_{tt} - a^2 u_{xx} = f(x,t)$
• 边界条件是齐次的
• 初始条件最好是零，或者能化成零初值

如果满足，就可以考虑杜阿梅尔原理。

对每个固定的 $\tau$，构造辅助函数 $v(x,t;\tau)$，使它满足齐次波动方程：

边界条件与原题相同。在 $t=\tau+0$ 时满足"冲量型初值"：

这里的 $f(x,\tau)$ 是把原右端里的时间变量 $t$ 换成参数 $\tau$ 得到的。这一步就是把"连续外力"改写成"某个瞬间打一拳"。

因为这是齐次波动方程，所以通常用分离变量或特征函数展开。

• 如果边界条件是 Neumann 型（比如 $u_x(0,t) = u_x(l,t) = 0$），那就展开成余弦级数：

• 如果边界条件是 Dirichlet 型（比如 $u(0,t) = u(l,t) = 0$），那就展开成正弦级数。

然后代回方程，得到各模态的常微分方程。

因为 $v(x,\tau+0;\tau) = 0$，所以每个模态都有 $T_n(\tau,\tau) = 0$。

再由 $v_t(x,\tau+0;\tau) = f(x,\tau)$ 得到 $T_n'(\tau,\tau)$ 的值。

于是每个模态都是一个二阶常微分方程初值问题，可以解出来。

把各模态拼起来，就得到在固定冲量时刻 $\tau$ 下的响应函数 $v(x,t;\tau)$。

总解为：

这一步是整个方法的落脚点：把所有时刻的瞬时响应叠加。

最后通常会出现形如 $\displaystyle\int_0^t \sin\omega\tau\,\sin\lambda(t-\tau)\,d\tau$ 这样的卷积积分。

• 如果 $\omega \neq \lambda$，按三角恒等变形直接算。
• 如果 $\omega = \lambda$，会出现共振，要单独取极限或直接重算，最后一般会出现一个随时间增长的因子，比如 $t\sin\omega t$ 或 $t\cos\omega t$。

求解定解问题：

边界条件：$u_x(0,t) = 0$，$u_x(l,t) = 0$

初始条件：$u(x,0) = 0$，$u_t(x,0) = 0$

这是一个标准的线性非齐次波动方程。右端是 $f(x,t) = A\cos\frac{\pi x}{l}\sin\omega t$，边界条件是齐次 Neumann 条件，初始条件也是零。

这正是杜阿梅尔原理最舒服的使用场景。对每个固定的 $\tau$，先求辅助函数 $v(x,t;\tau)$，它满足：

并且在 $t=\tau+0$ 时有冲量型初值：

因为边界条件是 Neumann 条件，所以特征函数是余弦函数：$\cos\frac{n\pi x}{l}$，$n = 0,1,2,\dots$

设：

代入齐次方程 $v_{tt} - a^2 v_{xx} = 0$，由

得到：

由余弦系数唯一性可知，对每个 $n$ 都有：

由 $v(x,\tau+0;\tau) = 0$ 可知所有模态都满足 $T_n(\tau,\tau) = 0$。

再看速度条件 $v_t(x,\tau+0;\tau) = A\cos\frac{\pi x}{l}\sin\omega\tau$，左边展开为：

右边只有一个 $\cos\frac{\pi x}{l}$ 模态，也就是 $n=1$ 模态。所以：

• 对 $n \neq 1$，有 $T_n'(\tau,\tau) = 0$
• 对 $n = 1$，有 $T_1'(\tau,\tau) = A\sin\omega\tau$

因此只有第一模态被激发，其余模态全为零。这一步很关键：因为右端空间形式本来就是一个特征函数，所以根本不需要做复杂展开，直接知道只会激发对应模态。

对 $n=1$，方程变成：

记 $\lambda = \frac{\pi a}{l}$，则方程为 $T_1'' + \lambda^2 T_1 = 0$，初值为：

这是一个标准二阶常系数初值问题。以 $t - \tau$ 为时间变量，它的解是：

于是：

把 $\lambda = \frac{\pi a}{l}$ 代回去：

总解是：

记 $\lambda = \frac{\pi a}{l}$，则本质已经被压缩成一个时间卷积积分：

可验证结果为：

因此：

代回 $\lambda = \frac{\pi a}{l}$ 后可写成：

这时上面的分母变成零，不能直接代，要单独算：

所以：

以后你看到题目 $u_{tt} - a^2 u_{xx} = f(x,t)$ 配齐次边界条件和零初始条件时，可以按下面背：