8.3 非齐次边界条件
标准问题
波动方程（齐次）：
$$u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0$$
非齐次边界条件：
$$u\mid_{x=0} = \mu(t),\qquad u\mid_{x=l} = \nu(t)$$
初始条件：
$$u\mid_{t=0} = \varphi(x),\qquad u_t\mid_{t=0} = \psi(x)$$
核心思路：把边条件吸收入解的分解
取 $u = v + w$，设 $v(x,t)$ 为 $x$ 的线性函数：
$$v(x,t) = A(t)x + B(t)$$
若要求 $v$ 满足非齐次边条件，令 $v\mid_{x=0} = \mu(t)$，$v\mid_{x=l} = \nu(t)$，得：
$$v(x,t) = \frac{[\nu(t) - \mu(t)]}{l}\,x + \mu(t)$$
转化为齐次边条件问题
注意，$v$ 不满足波动方程。把 $u = w + v$ 代入波动方程，得关于 $w$ 的方程：
$$w_{tt} - a^2 w_{xx} = -v_{tt} + a^2 v_{xx} = \frac{x}{l}[\mu''(t) - \nu''(t)] - \mu''(t)$$
边界条件：
$$w\mid_{x=0} = 0,\qquad w\mid_{x=l} = 0$$
初条件：
$$w\mid_{t=0} = \varphi(x) - v\mid_{t=0} = \varphi(x) + \frac{1}{l}[\mu(0) - \nu(0)]x - \mu(0)$$
$$w_t\mid_{t=0} = \psi(x) - v_t\mid_{t=0} = \psi(x) + \frac{1}{l}[\mu'(0) - \nu'(0)]x - \mu'(0)$$
说明：虽然方程是非齐次的，但边界条件是齐次的，可按 §8.2 求解。
特殊情况：两端都是第二类（Neumann）非齐次边界条件
若边界条件为：
$$u_x\mid_{x=0} = \mu(t),\qquad u_x\mid_{x=l} = \nu(t)$$
如果仍取线性函数 $v(x,t) = A(t)x + B(t)$，代入边界条件得：
$$v_x\mid_{x=0} = A(t) = \mu(t),\qquad v_x\mid_{x=l} = A(t) = \nu(t)$$
除非 $\mu(t) = \nu(t)$，否则这两式互相矛盾。
这时不妨改试：
$$v(x,t) = A(t)x^2 + B(t)x$$
8.4 泊松方程
前面对非齐次项的讨论局限于含时间的输运方程与波动方程，那对泊松方程怎么处理呢？
泊松方程的标准形式
$$\nabla^2 u = f(x,y,z)$$
求解思路：线性叠加猜特解
仍然线性叠加猜特解 $v$，考虑边界条件的齐次通解若为 $w$，设 $u = w + v$，求解 $w$ 即可。
特解 $v$ 一般能"丁真"出来（即通过观察或标准方法直接构造）。
核心思想：把泊松方程的非齐次右端 $f$ 看作"源项"，先找一个特解 $v$ 让它满足方程，再加上齐次泊松方程（拉普拉斯方程）的通解 $w$ 来满足边界条件。
补充：8.3 的方法（把边条件吸收入分解）与 8.4 的方法（特解 + 齐次通解）在精神上是一脉相承的——都是把困难的部分分离出去，留下可求解的齐次问题。