非齐次方程：叠加原理与傅里叶级数法

非齐次边界条件是分离变数法的天敌——特征值问题的成立依赖齐次边界。面对多边非齐次情况，叠加原理（Problem Decomposition）就是我们的"分身术"；而对于方程本身含受迫项的情况，傅里叶级数展开提供了系统化的 Pipeline。

1. 核心逻辑：为什么可以设 $u = v + w$？

数学依据是算子与边界算子的线性性质。

方程的线性：拉普拉斯算子 $\Delta$ 是线性的，即 $\Delta(v+w) = \Delta v + \Delta w$。若 $v,\,w$ 各自满足 $\Delta(\cdot)=0$，其和必然也满足。
边界条件的线性：边界算子 $L[u]=u|_\Gamma$ 同样线性，故 $L[v+w]=L[v]+L[w]$。

本质逻辑：只要控制 $v$ 在 $w$ 有值的边界上等于 0，且 $w$ 在 $v$ 有值的边界上等于 0，叠加后各边界条件互不干扰，完美还原原问题。

2. 边界条件分配策略：以习题 11 为例

矩形区域内求解 $\Delta u = 0$，非齐次项出现在 $x=0$ 和 $y=0$ 两边。将原问题拆分为两个子问题 $v(x,y)$ 与 $w(x,y)$：

边界位置	原问题 $u$	子问题 $v$（处理 $x=0$）	子问题 $w$（处理 $y=0$）
左侧 $x=0$	$Ay(b-y)$	$Ay(b-y)$	$0$
右侧 $x=a$	$0$	$0$	$0$
底部 $y=0$	$B\sin\dfrac{\pi x}{a}$	$0$	$B\sin\dfrac{\pi x}{a}$
顶部 $y=b$	$0$	$0$	$0$

验证：

$x=0$：$u = v(0,y)+w(0,y) = Ay(b-y)+0$ ✓
$y=0$：$u = v(x,0)+w(x,0) = 0+B\sin\frac{\pi x}{a}$ ✓
$x=a$ 和 $y=b$：$0+0=0$ ✓

拆分动机：$v$ 在 $y$ 方向两端齐次，故可在 $y$ 方向求解特征值问题（得到 $\sin\frac{n\pi y}{b}$）；$w$ 在 $x$ 方向两端齐次，同理。

3. 物理图像：稳恒温度场的叠加

拉普拉斯方程描述无内部热源的稳态温度分布：

子问题 $v$：只有左侧边被加热为 $Ay(b-y)$，其余三边恒温 0°C 的温度场。
子问题 $w$：只有底边被加热为正弦分布，其余三边恒温 0°C 的温度场。

在线性系统中，多个扰动同时存在的效果 = 各扰动单独效果的代数和，即"热平衡叠加"。

4. 通用拆分模板

若四边均非齐次 $u|_{x=0}=f_1,\,u|_{x=a}=f_2,\,u|_{y=0}=g_1,\,u|_{y=b}=g_2$：

两组对边拆法：$V$ 处理 $x=0,a$ 的非齐次条件，$y$ 方向令齐次；$W$ 处理 $y=0,b$，$x$ 方向令齐次。
极简四拆法：拆成 4 个子问题，每个只负责一条边非齐次，其余三边全为 0。

叠加的适用范围：不只限于拉普拉斯方程——所有线性偏微分方程均适用。波动/热传导方程同样可将"边界的麻烦"和"方程本身的麻烦"分开处理。

Phase 1 — 预处理：齐次化边界 & 锁定基函数

若边界条件非齐次，先用叠加原理设 $u = v + w$，将边界化为齐次。
锁定基函数（由边界条件决定）：
- $u(0,t)=u(l,t)=0$（第一类）：基函数为 $\sin\frac{n\pi x}{l}$，$n=1,2,\ldots$，无 $n=0$ 项。
- $u_x(0,t)=u_x(l,t)=0$（第二类）：基函数为 $\cos\frac{n\pi x}{l}$，$n=0,1,2,\ldots$，必须包含 $n=0$ 项。
- 混合边条件：基函数形如 $\sin\!\left(\!\left(n+\tfrac{1}{2}\right)\!\frac{\pi x}{l}\right)$。

Phase 2 — 双重展开（核心步骤）

以第二类边界（含 $n=0$）为例，统一采用傅里叶余弦级数：

展开解 $u(x,t)$（推荐 $a_0/2$ 写法）：

$$u(x,t) = \frac{T_0(t)}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} T_n(t) \cos\frac{n\pi x}{l}$$

展开受迫项 $f(x,t)$：

$$f(x,t) = \frac{f_0(t)}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} f_n(t) \cos\frac{n\pi x}{l}$$

傅里叶系数（对全部 $n \ge 0$ 使用同一公式）：

$$f_n(t) = \frac{2}{l}\int_0^l f(x,t)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx$$

$a_0/2$ 写法的好处：系数积分公式对 $n=0$ 与 $n\ge 1$ 完全统一，无需单独处理 $n=0$ 的积分。

Phase 3 — 化偏为常：建立 ODE 体系

以波动方程 $u_{tt} - a^2 u_{xx} = f(x,t)$ 为例，代入展开式后对比系数：

$n \ge 1$ 的项（利用 $\cos'' = -k^2\cos$）：

$$T_n''(t) + \left(\frac{n\pi a}{l}\right)^2 T_n(t) = f_n(t)$$

$n=0$ 的项（$\cos(0)=1$ 对 $x$ 求导为 0）：

$$\frac{1}{2}T_0''(t) = \frac{1}{2}f_0(t) \quad\Longrightarrow\quad T_0''(t) = f_0(t)$$

$n=0$ 的物理意义：代表系统"质心"运动——描述整根弦/整个物体的平均位移（或平均温度）如何随受迫项变化。

Phase 4 — 初值投影：确定积分常数

将初始条件 $u(x,0)=\phi(x)$、$u_t(x,0)=\psi(x)$ 按同一基函数展开：

$$\phi(x) = \frac{\phi_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\phi_n\cos\frac{n\pi x}{l}, \quad \psi(x) = \frac{\psi_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\psi_n\cos\frac{n\pi x}{l}$$

令 $T_n(0)=\phi_n$，$T_n'(0)=\psi_n$，代入各 ODE 求特解，最终叠加：

$$u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} T_n(t)\cos\frac{n\pi x}{l}$$

求解非齐次波动方程：

$$u_{tt} - a^2 u_{xx} = A\cos\frac{\pi x}{l}\sin\omega t$$

边界条件（第二类）：

$$u_x\big|_{x=0} = 0, \quad u_x\big|_{x=l} = 0$$

初始条件：

$$u\big|_{t=0} = \varphi(x), \quad u_t\big|_{t=0} = \psi(x), \quad 0 < x < l$$

Step 1 基函数

第二类边界 → 基函数为 $\cos\frac{n\pi x}{l}$，包含 $n=0$。

Step 2 展开

$$u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} T_n(t)\cos\frac{n\pi x}{l}$$

Step 3 对比系数，建立 ODE

受迫项 $f = A\cos\frac{\pi x}{l}\sin\omega t$ 只含 $n=1$ 分量，故：

$$T_1'' + \frac{\pi^2 a^2}{l^2}T_1 = A\sin\omega t$$ $$T_0'' = 0, \quad T_n'' + \frac{n^2\pi^2 a^2}{l^2}T_n = 0 \quad (n \neq 0, 1)$$

Step 4 解各 ODE

$$T_0(t) = \varphi_0 + \psi_0\,t$$ $$T_1(t) = \underbrace{\frac{Al}{\pi a}\cdot\frac{1}{\omega^2 - \pi^2 a^2/l^2}\!\left(\omega\sin\frac{\pi at}{l} - \frac{\pi a}{l}\sin\omega t\right)}_{\text{受迫振动项}} + \varphi_1\cos\frac{\pi at}{l} + \frac{l}{\pi a}\psi_1\sin\frac{\pi at}{l}$$ $$T_n(t) = \varphi_n\cos\frac{n\pi at}{l} + \frac{l}{n\pi a}\psi_n\sin\frac{n\pi at}{l} \quad (n \neq 0,1)$$

其中傅里叶系数由初始条件投影给出：

$$T_0(0)=\varphi_0=\frac{1}{l}\int_0^l\varphi(\xi)\,d\xi, \quad T_0'(0)=\psi_0=\frac{1}{l}\int_0^l\psi(\xi)\,d\xi$$ $$T_n(0)=\varphi_n=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(\xi)\cos\frac{n\pi\xi}{l}\,d\xi, \quad n\ge 1$$

⚠ 共振检查：若 $\omega = \frac{\pi a}{l}$（即驱动频率等于 $n=1$ 阶固有频率），上式分母为零，需改用共振特解形式 $t(C\cos\omega t + D\sin\omega t)$。

分离变数法的核心是处理拉普拉斯算子 $\Delta$，三类基础方程在空间部分上完全一致：

类型	方程	空间本征值问题	时间系数演化
双曲型波动方程	$u_{tt} = a^2\Delta u$	$\Delta X + \lambda X = 0$（相同！）	$T = \sin\omega t,\,\cos\omega t$（振荡）
抛物型热传导方程	$u_t = k\Delta u$		$T = e^{-\lambda t}$（衰减）
椭圆型拉普拉斯方程	$\Delta u = 0$		$T = \sinh(ky),\,\cosh(ky)$（稳态耦合）

线性代数视角：傅里叶级数法 = 偏微分方程的"对角化"。空间边界确定后，基函数就是对应线性算子的特征向量；不同方程的区别只在于特征值如何驱动时间演化。

傅里叶级数法的失效场景

非线性方程：如 $\Delta u + u^2 = 0$，叠加原理失效。
不规则边界：无法用 $\sin/\cos$ 铺满，工程上改用有限元法（FEM）。
变系数方程：介质不均匀时，基函数退化为贝塞尔函数、勒让德多项式等特殊函数。

步骤	动作	注意点
Step 1	齐次化边界条件	若 $u_x$ 有值，先构造二次函数消除之
Step 2	锁定基函数 & 双重展开	第二类边值必带 $n=0$，推荐 $T_0/2$ 形式
Step 3	代入方程，建立 ODE 体系	$n=0$ 的 ODE 通常不含 $T_n$ 本身（只有导数项）
Step 4	求解 ODE	针对 $f_n(t)$ 不同形式（常数/指数/三角）求特解；检查共振！
Step 5	初值投影 & 叠加	$u(x,t)=\sum T_n(t)X_n(x)$

非齐次方程
叠加原理 & 傅里叶级数法

Part A 非齐次边界条件：叠加原理