特殊函数常微分方程

球坐标系中，未知函数写作 $u=u(r,\theta,\varphi)$，其中：

• $r$ 表示到原点的距离
• $\theta$ 表示极角
• $\varphi$ 表示方位角

课本给出的球坐标系下拉普拉斯方程为

$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}=0 \tag{9.1.1}$$

这个式子一眼看上去比直角坐标下的 $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$ 复杂得多，但它的结构其实非常整齐：

• 第一项只和径向变量 $r$ 有关
• 后两项只和角变量 $\theta,\varphi$ 有关

这正是适合分离变量的信号。

第一步：先把 $r$ 与角变量分开

课本先设

$$u(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi)$$

这里的想法非常自然：

• $R(r)$ 负责描述"离原点远近"对解的影响
• $Y(\theta,\varphi)$ 负责描述"方向"对解的影响

把它代入方程 (9.1.1)，再把各项整理后，得到

$$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)=-\frac{1}{\sin\theta\,Y}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)-\frac{1}{Y}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2}$$

这一步是整个分离变量法最关键的观察点：

• 左边只含 $r$
• 右边只含 $\theta,\varphi$

既然两边分别依赖于不同变量，而它们却恒等相等，那么除非它们都等于同一个常数。

课本把这个常数记作 $l(l+1)$，于是得到

$$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)=-\frac{1}{Y\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)-\frac{1}{Y\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2}=l(l+1)$$

于是分裂成两个方程：

$$\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)-l(l+1)R=0 \tag{9.1.2}$$

$$\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2}+l(l+1)Y=0 \tag{9.1.3}$$

到这里要有一个概念：球坐标中的拉普拉斯方程，第一次分离之后，就已经被拆成了

• 一个径向常微分方程
• 一个球面上的角向方程

第二步：先解径向方程

(9.1.2) 可写成

$$r^2R''+2rR'-l(l+1)R=0$$

这是一个欧拉型方程。欧拉型方程的标准试探形式是 $R=r^\alpha$。

代入后得到特征方程

$$\alpha(\alpha-1)+2\alpha-l(l+1)=0$$

即 $\alpha^2+\alpha-l(l+1)=0$

它的两个根是

$$\alpha=l,\qquad \alpha=-(l+1)$$

所以径向解为

$$R(r)=Cr^l+D\frac{1}{r^{l+1}} \tag{9.1.4}$$

第三步：再把角向方程继续分离

课本把 (9.1.3) 称为球函数方程。接下来再设

$$Y(\theta,\varphi)=\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$$

这一步相当于把"方向"再拆成：

• $\Theta(\theta)$：控制极角变化
• $\Phi(\varphi)$：控制绕 $z$ 轴旋转时的变化

代入 (9.1.3)，整理后得到

$$\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+l(l+1)\sin^2\theta=-\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2}$$

现在左右两边又分别只依赖不同变量：

• 左边只依赖 $\theta$
• 右边只依赖 $\varphi$

所以它们又必须共同等于一个常数。课本记这个常数为 $\lambda$，于是得到

$$\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+l(l+1)\sin^2\theta=-\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2}=\lambda$$

这又分解成两个常微分方程：

$$\Phi''+\lambda\Phi=0 \tag{9.1.5}$$

$$\sin\theta\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\bigl[l(l+1)\sin^2\theta-\lambda\bigr]\Theta=0 \tag{9.1.6}$$

第四步：处理 $\varphi$ 方程，得到周期条件与本征值

先看最简单的 $\Phi$ 方程：

$$\Phi''+\lambda\Phi=0$$

这看起来只是一个普通常系数二阶 ODE，但它有一个"自然的周期条件"：

$$\Phi(\varphi+2\pi)=\Phi(\varphi)$$

为什么这个条件必须加上？

因为在球坐标中，$\varphi$ 和 $\varphi+2\pi$ 表示同一个方向。也就是说，解作为空间中的单值函数，绕一圈后必须回到自己。

所以这不是额外人为附加的条件，而是坐标本身带来的几何要求。

对方程 $\Phi''+\lambda\Phi=0$，要满足 $2\pi$ 周期，只有当

$$\lambda=m^2,\qquad m=0,\pm1,\pm2,\dots$$

时才可能。此时解为

$$\Phi(\varphi)=A\cos m\varphi+B\sin m\varphi$$

或者更紧凑地写成复指数形式

$$\Phi(\varphi)=Ce^{im\varphi}$$

第五步：得到关于 $\theta$ 的连带勒让德方程

把 $\lambda=m^2$ 代回 $\Theta$ 方程，可得

$$\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\left[l(l+1)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta=0 \tag{9.1.9}$$

这就是课本中的角向方程标准形式。

为了把它化成熟悉的形式，课本作变量代换

$$x=\cos\theta$$

这一步非常经典，也非常值得你记住。因为在球坐标问题中，凡是出现 $\sin\theta,\cos\theta$ 混合的角向方程，通常都要换成 $x=\cos\theta$ 来整理。

由于 $x=\cos\theta$，所以

$$\frac{d\Theta}{d\theta}=\frac{d\Theta}{dx}\frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta\frac{d\Theta}{dx}$$

代入并整理后，课本把 (9.1.9) 化成

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d\Theta}{dx}\right]+\left[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]\Theta=0 \tag{9.1.10}$$

也就是

$$(1-x^2)\Theta''-2x\Theta'+\left[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]\Theta=0 \tag{9.1.11}$$

这就叫作 $l$ 阶连带勒让德方程。

若 $m=0$，它退化为

$$(1-x^2)\Theta''-2x\Theta'+l(l+1)\Theta=0 \tag{9.1.12}$$

这就是普通的勒让德方程。

球坐标分离的整体结构总结

现在把前面的推导串起来，整个球坐标分离的逻辑链条就是：

先从拉普拉斯方程出发 $\Delta u=0$

在球坐标中写为 (9.1.1) 的形式。

然后依次做两次分离：

第一次分离：$u(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi)$

得到径向方程和球函数方程

第二次分离：$Y(\theta,\varphi)=\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$

得到 $\Phi$ 的周期本征值问题和 $\Theta$ 的连带勒让德方程

最后三个因子分别是：

• $R(r)$：由欧拉型方程给出
• $\Phi(\varphi)$：由周期条件给出三角函数或复指数
• $\Theta(\theta)$：由勒让德/连带勒让德方程给出

因此，球坐标下 Laplace 方程的分离解一般写成

$$u(r,\theta,\varphi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$$

进一步代入上面三个方程的解，便得到

$$u(r,\theta,\varphi)=\left(Cr^l+D r^{-(l+1)}\right)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$$

如果把所有允许的 $l,m$ 都叠加起来，就得到一般级数解。

我们现在讲拉普拉斯方程在柱坐标系 $(\rho,\varphi,z)$ 下的求解。这里最核心的思想仍然是分离变量法，但和直角坐标不同的是，柱坐标下分离出来的径向方程不再是常系数方程，而会导向贝塞尔方程或修正贝塞尔方程。这是这一部分最值得抓住的主线。

拉普拉斯方程写成

$$\nabla^2 u=0$$

在柱坐标系中就是

$$\frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$$

这里要特别注意：柱坐标里的径向变量是 $\rho$，不是球坐标里的 $r$；另外还有角变量 $\varphi$ 和轴向变量 $z$。

分离变量的第一步，是设解可写成三个单变量函数的乘积：

$$u(\rho,\varphi,z)=R(\rho)\Phi(\varphi)Z(z)$$

把它代入方程，得到

$$R''\Phi Z+\frac{1}{\rho}R'\Phi Z+\frac{1}{\rho^2}R\Phi'' Z+R\Phi Z''=0$$

再除以 $R\Phi Z$，得

$$\frac{R''}{R}+\frac{1}{\rho}\frac{R'}{R}+\frac{1}{\rho^2}\frac{\Phi''}{\Phi}+\frac{Z''}{Z}=0$$

乘以 $\rho^2$，化成

$$\rho^2\frac{R''}{R}+\rho\frac{R'}{R}+\frac{\Phi''}{\Phi}+\rho^2\frac{Z''}{Z}=0$$这一步非常关键，因为它把 $\rho,\varphi,z$ 的依赖关系显式分开了。接下来先分离角变量 $\varphi$。

角向分离与周期条件

由于 $\varphi$ 是角变量，物理上必须满足单值性，也就是

$$u(\rho,\varphi+2\pi,z)=u(\rho,\varphi,z)$$

因此自然要求

$$\Phi(\varphi+2\pi)=\Phi(\varphi)$$

于是我们令

$$\frac{\Phi''}{\Phi}=-m^2$$

从而得到角向方程

$$\Phi''+m^2\Phi=0$$

它的通解为

$$\Phi(\varphi)=A\cos m\varphi+B\sin m\varphi$$

再由周期条件 $\Phi(\varphi+2\pi)=\Phi(\varphi)$，可知

$$m=0,1,2,\cdots$$

所以角向本征函数就是 $\cos m\varphi, \sin m\varphi$。

把 $\Phi''/\Phi=-m^2$ 代回去，可得

$$\rho^2\frac{R''}{R}+\rho\frac{R'}{R}-m^2+\rho^2\frac{Z''}{Z}=0$$

也就是

$$\rho^2\frac{R''}{R}+\rho\frac{R'}{R}-m^2=-\rho^2\frac{Z''}{Z}$$

左边只与 $\rho$ 有关，右边表面上与 $\rho,z$ 都有关。为了让分离成立，只能继续把 $Z$ 部分取成常数。这里有两种常见分法，而这正是柱坐标解法里最容易混乱的地方。

第一种分法：$Z$ 取三角函数型

令

$$Z''+k^2 Z=0$$

那么

$$Z(z)=C\cos kz+D\sin kz$$

这时径向方程变为

$$\rho^2 R''+\rho R'-(k^2\rho^2+m^2)R=0$$

令 $x=k\rho$，就得到

$$x^2\frac{d^2R}{dx^2}+x\frac{dR}{dx}-(x^2+m^2)R=0$$

这就是 $m$ 阶修正贝塞尔方程。它的通解是

$$R(\rho)=C_1 I_m(k\rho)+C_2 K_m(k\rho)$$

所以这一类分离解写成

$$u(\rho,\varphi,z)=\big[C_1 I_m(k\rho)+C_2 K_m(k\rho)\big]\big[A\cos m\varphi+B\sin m\varphi\big]\big[C\cos kz+D\sin kz\big]$$

第二种分法：$Z$ 取指数型

令

$$Z''-k^2 Z=0$$

那么

$$Z(z)=C e^{kz}+D e^{-kz}$$

这时径向方程变为

$$\rho^2 R''+\rho R'+(k^2\rho^2-m^2)R=0$$

令 $x=k\rho$，得

$$x^2\frac{d^2R}{dx^2}+x\frac{dR}{dx}+(x^2-m^2)R=0$$

这就是 $m$ 阶贝塞尔方程，通解为

$$R(\rho)=C_1 J_m(k\rho)+C_2 Y_m(k\rho)$$

因此对应的分离解为

$$u(\rho,\varphi,z)=\big[C_1 J_m(k\rho)+C_2 Y_m(k\rho)\big]\big[A\cos m\varphi+B\sin m\varphi\big]\big[C e^{kz}+D e^{-kz}\big]$$

$k=0$ 的特例

还有一个特例不能漏掉，就是 $k=0$。这时 $Z''=0$，所以

$$Z(z)=Az+B$$

径向方程变为

$$\rho^2R''+\rho R'-m^2R=0$$

这是欧拉方程。

当 $m\ge 1$ 时，$R(\rho)=C_1\rho^m+C_2\rho^{-m}$

当 $m=0$ 时，$R(\rho)=C_1+C_2\ln\rho$

所以 $k=0$ 的情形其实对应的是最简单的一类柱坐标调和函数。

选解原则

分离变量求出来的只是形式通解，真正能留下哪些项，要看定义域和边界条件。

如果区域包含轴线 $\rho=0$，那么解必须在 $\rho=0$ 有限。于是：

• 普通贝塞尔方程里，$Y_m(k\rho)$ 在 $\rho=0$ 奇异，所以要舍去；
• 修正贝塞尔方程里，$K_m(k\rho)$ 在 $\rho=0$ 奇异，所以要舍去；
• 欧拉方程里，$\rho^{-m}$ 和 $\ln\rho$ 在 $\rho=0$ 奇异，所以也要舍去。

因此，只要区域包含中心轴，通常只能保留 $J_m(k\rho)$ 或 $I_m(k\rho)$，以及 $k=0$ 时的有限项。

如果区域是不含轴线的圆环域，那么奇异项未必一定要舍去，因为它们在该区域内可能仍然是有界的。这时要由内外边界条件共同决定。

如果是外部问题，还常常要考虑 $\rho\to\infty$ 时的行为。比如修正贝塞尔函数中：

$$I_m(k\rho)\to \infty,\qquad K_m(k\rho)\to 0\quad (\rho\to\infty)$$

所以要求无穷远处衰减时，常保留 $K_m$，舍去 $I_m$。

求解流程总结

从求解流程上看，柱坐标拉普拉斯方程的套路可以概括为：

1. 先写出柱坐标下的方程；
2. 设 $u=R(\rho)\Phi(\varphi)Z(z)$；
3. 先由角向周期性得到 $\Phi$ 的本征函数 $\cos m\varphi,\sin m\varphi$；
4. 再根据 $z$ 方向边界条件，决定取三角函数型还是指数函数型；
5. 径向方程随之化成贝塞尔方程或修正贝塞尔方程；
6. 再根据 $\rho=0$ 附近是否要求有限、以及 $\rho\to\infty$ 是否要求衰减，删去不合适的解；
7. 最后把边界条件展开到这些本征函数系中，确定展开系数。

典型例题：有限圆柱区域

设区域为

$$0\le \rho

并且满足

$$u(\rho,\varphi,0)=0,\qquad u(\rho,\varphi,h)=0$$

侧面给定

$$u(a,\varphi,z)=f(\varphi,z)$$

同时要求在 $\rho=0$ 有限。

由于 $z=0,h$ 是齐次边界条件，最自然选

$$Z_n(z)=\sin\frac{n\pi z}{h},\qquad n=1,2,\cdots$$

对应

$$Z_n''+\left(\frac{n\pi}{h}\right)^2 Z_n=0$$

于是径向方程变为

$$\rho^2R''+\rho R'-\left[\left(\frac{n\pi}{h}\right)^2\rho^2+m^2\right]R=0$$

所以径向解应取修正贝塞尔函数

$$R_{mn}(\rho)=I_m\left(\frac{n\pi}{h}\rho\right)$$

因为 $K_m$ 在 $\rho=0$ 奇异，要舍去。

因此总解可写成级数形式

$$u(\rho,\varphi,z)=\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{mn}\cos m\varphi+b_{mn}\sin m\varphi\right]\frac{I_m\left(\frac{n\pi}{h}\rho\right)}{I_m\left(\frac{n\pi}{h}a\right)}\sin\frac{n\pi z}{h}$$

这里分母的作用只是把 $\rho=a$ 处归一化，方便直接和边界函数 $f(\varphi,z)$ 对应。接下来只需把 $f(\varphi,z)$ 按照 $\cos m\varphi, \sin m\varphi, \sin\frac{n\pi z}{h}$ 做展开，就能求出系数 $a_{mn},b_{mn}$。

你要重点理解的数学思想

这一讲不是让你死记球坐标公式，而是要真正理解以下几点。

学习抓手

学这部分时，不要把重点放在"背结论"，而要抓住下面的骨架。

1. 先会写出该坐标系下的 PDE
2. 会猜乘积型设解
3. 能做出第一次和第二次分离
4. 认出分离后出现的是哪类 ODE
5. 知道这些 ODE 的解为什么要受周期性、有界性、单值性约束
6. 最后再根据具体区域选取保留项

你一旦把这个骨架抓住了，后面的柱坐标、球坐标、甚至更一般正交曲线坐标系，套路其实都是同一个套路。

拿到球坐标问题后，可以按下面流程做：

最后把这一章最容易混淆的点总结一下。

你可以把它和球坐标系的情况作比较：球坐标里角向会导出勒让德函数；柱坐标里径向会导出贝塞尔函数。这就是两种曲线坐标分离变量法最核心的差别。